Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=45°．
（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（II）求异面直线VD和BC所成角的余弦．

Answer 1

分析：（I）根据线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒面面垂直．
（II）通过作平行线，作出异面直线所成的角，再在三角形中求角．

解答：解：（Ⅰ）∵AC=BC=a，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC．AB?平面ABC，
∴VC⊥AB．∵VC∩CD=C，
∴AB⊥平面VCD．又AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ） 过点D在平面ABC内作DE∥BC交AC于E，
则∠VDE就是异面直线VD和BC所成的角．
在△ABC中，AB=

2

a⇒CD=

2

2

a，又∠VDC=450⇒VC=

2

2

a⇒VD=a；
∵BC⊥平面VAC，∴DE⊥平面VAC，∴△VDE为直角三角形，VD=a，DE=

1

2

a，VE=

a2 4 + a2 2

=

3

2

a
∴cos∠VDE=

VD2+DE2-VE2

2VD•DE

=

a2+ a2 4 - 3a2 4

2a• 1 2 a

=

1

2

∴异面直线VD和BC所成角的余弦

1

2

．

点评：本题考查面面垂直的判定及异面直线所成的角．求异面直线所成的角的步骤：1、作角（平行线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．