分析 由Sn+$\frac{1}{{2}^{n}}$=(-1)nan(n∈N*),求出a1=-$\frac{1}{4}$.an=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$(n为正奇数),an=$\frac{1}{{2}^{n}}$(n为正偶数).由此能求出数列{Sn}的前9项和.
解答 解:由Sn+$\frac{1}{{2}^{n}}$=(-1)nan(n∈N*),当n=1时,有a1=(-1)1a1-$\frac{1}{2}$,
解得a1=-$\frac{1}{4}$.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)nan-$\frac{1}{{2}^{n}}$-(-1)n-1an-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$.
即an=(-1)nan+(-1)n-1an-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$.
若n为偶数,则an-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$,(n≥2).
∴an=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$(n为正奇数);
若n为奇数,则an-1=-2an+$\frac{1}{{2}^{n}}$=(-2)•(-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$)+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$.
∴an=$\frac{1}{{2}^{n}}$(n为正偶数).
∴-a1=-(-$\frac{1}{{2}^{2}}$)=$\frac{1}{{2}^{2}}$,a2=$\frac{1}{{2}^{2}}$.
则-a1+a2=2×$\frac{1}{{2}^{2}}$.
-a3=-(-$\frac{1}{{2}^{4}}$)=$\frac{1}{{2}^{4}}$,a4=$\frac{1}{{2}^{4}}$.
则-a3+a4=2×$\frac{1}{{2}^{4}}$.
…
-a9+a10=2×$\frac{1}{{2}^{10}}$.
所以,S1+S2+S3+S4+…+S9
=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a9+a10)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$)
=2($\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$)
=2•$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{4}^{5}})}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{10}})}{1-\frac{1}{2}}$
=-$\frac{1}{3}(1-\frac{1}{{2}^{10}})$
=-$\frac{341}{1024}$.
故答案为:-$\frac{341}{1024}$.
点评 本题考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推公式及性质的合理运用.
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A. | 1,-1 | B. | $\sqrt{2}$,-$\sqrt{2}$ | C. | 1,-$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}$,-1 |
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