Question

已知直线l：y=kx+1，椭圆E：．
（Ⅰ）若不论k取何值，直线l与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式；
（Ⅱ）当时，直线l与椭圆E相交于A，B两点，与y轴交于点M．若，求椭圆E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由直线l恒过定点M（0，1），且直线l与椭圆E恒有公共点，知点M（0，1）在椭圆E上或其内部，得，由此能求出求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式．
（Ⅱ）由，消去y得．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，．M（0，1），由得x₁=-2x₂．由此得．从而得到椭圆E的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵直线l恒过定点M（0，1），且直线l与椭圆E恒有公共点，
∴点M（0，1）在椭圆E上或其内部，得，
解得m≥1，且m≠3．（3分）
（联立方程组，用判别式法也可）
当1≤m＜3时，椭圆的焦点在x轴上，；
当m＞3时，椭圆的焦点在y轴上，．
∴（6分）
（Ⅱ）由，消去y得．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则①，②．
∵M（0，1），∴由得x₁=-2x₂③．（9分）
由①③得④．
将③④代入②得，，解得m²=6（m²=-15不合题意，舍去）．
∴椭圆E的方程为．（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式．解题时要认真审题，合理地进行等价转化，提高解题能力和解题技巧．