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【题目】已知函数f(x)= 的定义域为R
(1)当a=2时,求函数f(x)的值域
(2)若函数f(x)是奇函数,①求a的值;②解不等式f(3﹣m)+f(3﹣m2)>0.

【答案】
(1)解:根据题意,若a=2,则f(x)=

则有3x=

又由3x>0,则有 >0,

解可得:y<﹣1或y>1,

即函数f(x)= 的值域为{y|y<﹣1或y>1}


(2)解:①、若函数f(x)是奇函数,且其定义域为R,

则有f(0)= = =0,解可得a=1,

②、由①可得,f(x)= =1﹣

分析易得函数f(x)在R上增函数;

f(3﹣m)+f(3﹣m2)>0f(3﹣m)>﹣f(3﹣m2f(3﹣m)>f(m2﹣3)3﹣m>m2﹣3m2+m﹣6<0,

解可得:﹣3<m<2,

则不等式f(3﹣m)+f(3﹣m2)>0解集为{m|﹣3<m<2}


【解析】(1)根据题意,可得f(x)= ,将其变形可得3x= ,结合指数函数的性质可得 >0,解可得y的取值范围,即可得函数的值域;(2)①、结合题意,由奇函数的性质可得f(0)= = =0,解可得a的值;②、由①可得函数的解析式,分析可得函数f(x)在R上增函数,由此可以将不等式f(3﹣m)+f(3﹣m2)>0转化为m2+m﹣6<0,解即可得答案.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识,掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,以及对函数奇偶性的性质的理解,了解在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.

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