例1:判断函数f(x)= lg(1+x2-x)的奇偶性．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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例1：判断函数f(x)= lg(

1+x2

-x)的奇偶性．

分析：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称，然后确定f（-x）与f（x）的关系，注意到

1+x2

-x与

1+x2

+x互为倒数关系．

解答：解：函数的定义域为R
f（-x）=lg(

1+x2

+x)=lg(

1+x2

-x)-1=-lg(

1+x2

-x)=-f（x）
故该函数是奇函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质，属于基础题．定义域关于原点对称是奇偶函数的一个本质特征，定义法是其它方法的基础；用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时，可化繁为简；图象关于原点或y轴对称是奇偶函数的几何特征；反之，函数的奇偶性又是函数图象对称性的代数描述，进而实现了数与形的辨证统一．

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对于函数f（x），若f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的：“不动点”；若f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅；
（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．

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（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=

1+x，x∈[-1，0)

1-x，x∈[0，1]

是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
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（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．

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