Question

18．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁E⊥EB．

（1）求证：A₁D⊥DC；
（2）求二面角E-A₁B-C的余弦值；
（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A₁DP⊥平面A₁BC？若存在，求出$\frac{EP}{EB}$的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知EA₁，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁D⊥DC．
（2）求出平面A₁BE的一个向量和平面A₁BC的一个法向量，利用向量法能求出二面角E-A₁B-C的余弦值．
（3）设$\frac{EP}{EB}$=λ（0≤λ≤1），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+λ\overrightarrow{EB}$=（-2，2λ，0），求出平面A₁DP的法向量和平面A₁BC法向量，利用向量法能求出在线段EB上存在一点P，使平面A₁DP⊥平面A₁BC．

解答 证明：（1）∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，
将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁E⊥EB．
∴由题意知EA₁，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，
由题意得DE=2$\sqrt{3}$，从而A₁（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2$\sqrt{3}$），D（0，0，2$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，4，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{DC}$=0，∴A₁D⊥DC．
解：（2）平面A₁BE的一个向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，2$\sqrt{3}$），
设平面A₁BC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，则$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角E-A₁B-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
（3）若存在一点P，使平面A₁DP⊥平面A₁BC，
设$\frac{EP}{EB}$=λ（0≤λ≤1），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+λ\overrightarrow{EB}$=（-2，2λ，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，0，2$\sqrt{3}$），
设平面A₁DP的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}P}=-2a+2bλ=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-2a+2\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，令c=λ，则$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}λ，\sqrt{3}，λ$），
则平面A₁BC法向量$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}，-\sqrt{3}$，1），
∵平面A₁DP⊥平面A₁BC，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-3λ-3+λ=0，
解得λ=-$\frac{3}{2}$，与0≤λ≤1矛盾，
∴在线段EB上存在一点P，使平面A₁DP⊥平面A₁BC．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．