Question

【题目】如图，已知，，是椭圆的三个顶点，椭圆的离心率，点到直线的距离是.设是椭圆上位于轴左边上的任意一点，直线，分别交直线于，两点，以为直径的圆记为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：圆始终与圆：相切，并求出所有圆的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见详解；或.

【解析】

（1）写出直线方程，利用点到直线距离公式，求得方程，结合离心率得到的方程，求得即可得到椭圆方程；

（2）根据三点分别共线，可得的坐标，从而求得圆的圆心和半径，根据两圆的位置关系，即可容易证明和求解.

（1）因为椭圆的离心率为，故可得；

又容易知方程为，又点坐标为

故可得，结合，

解得，

故可得椭圆方程为.

（2）不妨设点坐标为，

因为，

由三点共线可知：，解得；

同理由三点共线可得.

故可得点的坐标为，圆的半径；

又因为圆的圆心为，半径为，

故可得两圆圆心距

因为点满足椭圆方程，故可得，代入上式得：

，

故当时，可得

整理得，

当，即或时，

此时圆内切.即证.

此时满足题意的圆为或.