Question

20．已知函数f（x）=2^x+x²-xln2-2，若函数g（x）=|f（x）|-log_a（x+2）（a＞1）在区间[-1，1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． [3${\;}^{\frac{1}{1-ln2}}$，+∞）
• D． （2，3${\;}^{\frac{1}{1-ln2}}$]

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，计算最值，做出y=|f（x）|与y=log_a（x+2）的函数图象，根据交点个数得出不等式，从而解出a的范围．

解答 解：f′（x）=2^x•ln2+2x-ln2=（2^x-1）ln2+2x，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，
令g（x）=0得|f（x）|=log_a（x+2），则y=|f（x）|与y=log_ax的函数图象在[-1，1]上有4个交点，
作出y=|f（x）|与y=log_a（x+2）的大致图象如图所示：

∴log_a3≤1-ln2，即$\frac{1}{lo{g}_{3}a}≤1-ln2$，解得a≥3${\;}^{\frac{1}{1-ln2}}$．
故选C．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题．