Question

【题目】设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则
不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（ ）
A.（﹣2018，﹣2015）
B.（﹣∞，﹣2016）
C.（﹣2016，﹣2015）
D.（﹣∞，﹣2012）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：构造函数g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；
∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；
g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；
∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：
（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；
∴g（x+2015）＞g（﹣3）；
∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；
∴﹣2018＜x＜﹣2015；
∴原不等式的解集为（﹣2018，﹣2015）．
故选A．
根据条件，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（﹣∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．