Question

11．如图，已知四边形ABCD内接于抛物线x²=y，点C（3，9），AC平行于x轴，BD平行于该抛物线在点C处的切线，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求直线BD的方程；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，求出A的坐标，设直线BD的方程为y=6x+b，代入抛物线x²=y，利用∠BAD=90°，即可求直线BD的方程；
（Ⅱ）四边形ABCD的面积转化为两个三角形的面积的和．

解答 解：（Ⅰ）y′=2x，x=3时，y′=6，A（-3，9）
设直线BD的方程为y=6x+b，代入抛物线x²=y，可得x²-6x-b=0
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∴x₁+x₂=6，x₁x₂=-b
∵∠BAD=90°，
∴k_ADk_AB=$\frac{{y}_{2}-9}{{x}_{2}+3}$•$\frac{{y}_{1}-9}{{x}_{1}+3}$=（x₂-3）（x₁-3）=-b-3×6+9=-1∴b=-8，
∴直线BD的方程为y=6x-8；
（Ⅱ）b=-8，x²-6x-b=0的根为2，4，对应的纵坐标为4，16，
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}×6×（16-4）$=36．

点评 本题考查直线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积的计算，正确求出直线的方程是关键．