如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， $数学公式$ 在A₁B₁上，且A₁P=3PB₁．
（I）求证：PD⊥AD₁；
（II）求二面角C-DD₁-P的大小；
（III）求点B到平面DD₁P的距离．

证明：（I）由A₁B₁=AB=2，A₁P=3PB₁．
∴A₁P= $\text{[math]}$
如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴PD⊥AD₁；
（II）设平面DD₁P 的法向量为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
取y=-2，，则 $\text{[math]}$
∵平面CDD₁的法向量可为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵二面角C-DD₁-P的平面角为锐角
∴二面角C-DD₁-P的大小为 $\text{[math]}$ ；
（III）点B到平面DD₁P的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（I）建立空间直角坐标系D-xyz，用坐标表示点与向量，进而证明 $\text{[math]}$ ，从而PD⊥AD₁；
（II）设平面DD₁P 的法向量为 $\text{[math]}$ ，求得 $\text{[math]}$ ，又平面CDD₁的法向量可为 $\text{[math]}$ ，利用向量的夹角公式可求二面角C-DD₁-P的大小；
（III）利用点B到平面DD₁P的距离公式可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：本题以长方体为载体，考查线线垂直，考查面面角，考查点到面的距离，解题的关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法解决立体几何问题．

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