Question

定义域为R的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx-ax（a∈R），方程f（x）=0在R上恰有5个不同的实数解．
（1）求x＜0时，函数f（x）的解析式；
（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x＜0，则-x＞0，然后代入函数的解析式，根据偶函数进行化简即可求出x＜0时，函数f（x）的解析式；
（2）根据f（x）为偶函数，则f（x）=0的根关于原点对称，由f（x）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根，且两个正根和二个负根互为相反数，从而原命题等价与当x＞0时f（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，即y=lnx与直线y=ax交点的个数，由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切之间的情形，从而求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0．
∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax．
（2）∵f（x）为偶函数，∴f（x）=0的根关于原点对称．
由f（x）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根．
且两个正根和二个负根互为相反数．∴原命题?当x＞0时f（x）图象与x轴恰有两个不同的交点．
下面研究x＞0时的情况：f（x）=0的零点个数?y=lnx与直线y=ax交点的个数．
∴当a≤0时，y=lnx递增与直线y=ax下降或与x轴重合，
故交点的个数为1，不合题意，∴a＞0．
由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切之间的情形． 
设切点(t，lnt)?k=(lnx)′|x=t=

1

t

，
∴切线方程为：y-lnt=

1

t

(x-t)．
由切线与y=ax重合知a=

1

t

，lnt=1?t=e，a=

1

e

，
故实数a的取值范围为(0，

1

e

)．

点评：本题主要考查了函数的解析式，以及函数与方程和根的存在性和根的个数的判断，属于中档题．