Question

已知f(x)=

ax2+x

2x2+b

为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点(1，

1

3

)
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{a_n}，a1=

1

2

，

a

2 n+1

=2anf(an)(n∈N*)，求数列{a_n²}的通项公式；
（3）已知b&n=

a 2 n a 2 n+1

2n-2

，设S_n为b_n的前n项和，证明：

1

6

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数是一个奇函数，根据奇函数的定义，得到a的值，根据函数过一个定点，把点的坐标代入，利用待定系数法得到结果．
（2）根据条件写出数列的递推式，下面整理数列，通过配凑整理出数列{

1

a 2 n

-2}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，写出数列通项，变形整理出结果．
（3）根据条件写出新数列的通项，观察新数列分母的结构，整理出可以应用裂项的方法来解题，用裂项做出数列的前n项和，利用分析法写出要证的不等式．

解答：解：（1）f(x)=

ax2+x

2x2+b

为奇函数
∴f(-x)=

a(-x)2-x

2(-x)2+b

=

ax2-x

2x2+b

=-

ax2+x

2x2+b

=-f(x)，
∴a=0
又f（x）过点(1，

1

3

)，
∴f(1)=

x

2x2+b

=

1

2+b

=

1

3

，∴b=1
∴f(x)=

x

2x2+1

（2）∵

a

2 n+1

=2anf(n)=2an•

an

2 a 2 n +1

=

2 a 2 n

2 a 2 n +1

∴

1

a 2 n +1

=1+

1

2 a 2 n

∴

1

a 2 n +1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)
∴数列{

1

a 2 n

-2}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列              
∴

1

a 2 n

-2=2(

1

2

)n-1∴

a

2 n

=

1

2( 1 2 )n-1+2

（3）由（2）知：bn=

a 2 n a 2 n+1

2n-2

=

2n-1

(2n-1+1)(2n+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

∴Sn=

1

1+1

-

1

2+1

+

1

2+1

-

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

∵2n≥2?2n+1≥3?0＜

1

2n+1

≤

1

3

则

1

6

≤

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

∴

1

6

≤Sn＜

1

2

点评：本题考查数列和函数的综合，本题解题的关键是构造正确的新函数，判断出所给的数列是一个特殊的数列，本题是一个可以作为压轴题目出现的题目．