Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．
（1）求证：AC⊥A₁B；
（2）求三棱锥C₁-ABA₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AC中点O，连A₁O，BO，由已知得A₁O⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面A₁OB，由此能证明AC⊥A₁B．
（2）由VC1-ABA 1=VB-AA1C1，利用等积法能求出三棱锥C₁-ABA₁的体积．

解答： （1）证明：取AC中点O，连A₁O，BO．
∵AA₁=A₁C，∴A₁O⊥AC，…1分
又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分
∵A₁O∩BO=O，∴AC⊥平面A₁OB，…3分
又A₁B?平面A₁OB，…4分
∴AC⊥A₁B…5分
（2）解：由条件得：VC1-ABA 1=VB-AA1C1…6分
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，
AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，
∴OB=

2

，OA=

3

，S△AA1C1=

3

…9分
∴VC1-ABA 1=VB-AA1C1=

1

3

•S△AA1C1•OB…10分
=

3

3

．…12分

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．