Question

已知函数f（x）=2cos²x+cos（2x+

π

3

）．
（1）若f（α）=

3

3

+1，0＜a＜

π

6

，求sin2α的值；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边；若f（A）=-

1

2

，c=3，△ABC的面积S_△ABC=3

3

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=

3

cos（2x+

π

6

）+1，由题意易得cos（2α+

π

6

）=

1

3

，进而可得sin（2α+

π

6

）=

2 2

3

，而sin2α=sin（2α+

π

6

-

π

6

），代入两角差的正弦公式计算可得；
（2）由（1）易得cos（2A+

π

6

）=-

3

2

，结合A的范围可得A=

π

3

，再由面积公式可得b=4，由余弦定理可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2cos²x+cos（2x+

π

3

）
=1+cos2x+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=

3

cos（2x+

π

6

）+1，
∴f（α）=

3

cos（2α+

π

6

）+1=

3

3

+1，
∴cos（2α+

π

6

）=

1

3

，
∵0＜α＜

π

6

，∴0＜2α+

π

6

＜

π

3

，
∴sin（2α+

π

6

）=

1-cos2(2α+ π 6 )

=

2 2

3

，
∴sin2α=sin(2α+

π

6

-

π

6

)=sin(2α+

π

6

)cos

π

6

-sin

π

6

cos(2α+

π

6

)=

2 6 -1

6

（2）∵f（x）=

3

cos（2x+

π

6

）+1，
∴f（A）=

3

cos（2A+

π

6

）+1=-

1

2

，
∴cos（2A+

π

6

）=-

3

2

，
又∵A∈（0，

π

2

），∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

又∵c=3，S_△ABC=

1

2

bcsinA=3

3

，∴b=4
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=13，
∴a=

13

点评：本题考查余弦定理，涉及两角和与差的三角函数公式和三角形的面积公式，属基础题．