Question

4．（文科）设f（x）=a（x-5）²+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（Ⅰ）确定a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；
（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）因f（x）=a（x-5）²+6lnx，
故f′（x）=2a（x-5）+$\frac{6}{x}$，（x＞0），
令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6-8a，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-16a=（6-8a）（x-1），
由切线与y轴相交于点（0，6）．
∴6-16a=8a-6，
∴a=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由（I）得f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x-5）+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$，
令f′（x）=0，得x=2或x=3，
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，
当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数．

点评 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．