Question

4．设函数f（x）=e^x+$\frac{x}{x+1}$．
（1）求证：函数f（x）的唯一零点x₀∈（-$\frac{1}{2}$，0）；
（2）求证：对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（-1，λμ）上恒成立；
（3）设g（x）=f（x）-x=（$\frac{1}{2}$）^h（x）-1，当x＞0时，比较g（x）与h（x）的大小．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，可得e^x=-$\frac{x}{x+1}$，由e^x＞0，可得-1＜x＜0，运用零点存在定理，即可得证；
（2）运用（1）的结论，结合f（x）＜0，在（-1，x₀）处恒成立．即可得证；
（3）求出g（x）的导数，判断单调性，可得g（x）＞0，运用复合函数的单调性可得h（x）的单调性，可得h（x）＜0，即可得到结论．

解答 解：（1）证明：令f（x）=0，可得e^x=-$\frac{x}{x+1}$，
由e^x＞0，可得-1＜x＜0，
由f（x）=e^x+$\frac{x}{x+1}$=e^x+1-$\frac{1}{1+x}$在（-$\frac{1}{2}$，0）递增，
由f（-$\frac{1}{2}$）=${e}^{-\frac{1}{2}}$+1-$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=${e}^{-\frac{1}{2}}$-1＜0，
f（0）=1+0＞0，由函数零点存在定理，可得
函数f（x）存在唯一零点x₀∈（-$\frac{1}{2}$，0）；
（2）证明：由（1）可得f（x）在（-1，0）递增，
由函数f（x）存在唯一零点x₀∈（-$\frac{1}{2}$，0），
即有f（x）＜0，在（-1，x₀）处恒成立．
可令λμ=x₀，即有对任意λ＞0，存在μ＜0，
使得f（x）＜0在（-1，λμ）上恒成立；
（3）g（x）=f（x）-x=e^x+$\frac{x}{x+1}$-x=e^x+1-$\frac{1}{x+1}$-x
的导数为g′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-1，
x＞0时，e^x＞1，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）＞g（0）=1，
h（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$g（x）+1在x＞0时，由t=g（x）在x＞0递增，
h（x）=1+$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t递减，即有h（x）在x＞0递减，
则h（x）＜h（0）=1，
故当x＞0时，g（x）＞h（x）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，以及函数的单调性的运用，属于中档题．