Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f（2）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=（ ）
A.1
B.2014
C.0
D.﹣2014

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵y=f（x+1）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x+1）=﹣f（x+1），
∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）
即有f（﹣x﹣1）=f（x+1），
则f（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x+1），
即f（x+1）=﹣f（x﹣1），即有f（x+2）=﹣f（x），
则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
则f（x）的周期是4，
由于f（2）=1，则f（2）=﹣f（0）=1，则f（0）=﹣1，
又f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），则f（1）=0，
又f（3）=﹣f（1）=0，f（4）=f（0）=﹣1，
则有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0+1+0+（﹣1）=0，
由于f（2014）=f（4×503+2）=f（2）
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=0×503+[f（1）+f（2）+f（3）]=1．
故选：A．
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．