Question

4．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=sin$\frac{nπ}{2}$-kn，数列{a_n}的前n项和为S_n，且{S_n}为递减数列，则实数k的取值范围为（　　）

• A． k＞1
• B． $k＞\frac{1}{3}$
• C． $k＞\frac{1}{5}$
• D． $k＞\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 可通过前n项的和，结合单调递减，解不等式可得k的范围，再讨论n为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：a_n=sin$\frac{nπ}{2}$-kn，
可得a₁=1-k，a₂=-2k，a₃=-1-3k，a₄=-4k，
a₅=1-5k，a₆=-6k，a₇=-1-7k，a₈=-8k，
即有S₁=1-k，S₂=1-3k，S₃=-6k，S₄=-10k，
S₅=1-15k，S₆=1-21k，S₇=-28k，S₈=-36k，
由{S_n}为递减数列，可得S₁＞S₂＞S₃＞S₄＞S₅＞S₆＞S₇＞S₈，
即为1-k＞1-3k＞-6k＞-10k＞1-15k＞1-21k＞-28k＞-36k，
解得k＞$\frac{1}{5}$，
当n为4的倍数时，S_n=-$\frac{1}{2}$n（n+1）k，
由S_n＞S_n+1，可得-$\frac{1}{2}$n（n+1）k＞1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k-（n+1）k，
解得k＞$\frac{1}{n+1}$，显然$\frac{1}{n+1}$≤$\frac{1}{5}$；
当n为4的倍数加1时，S_n=1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k，
由S_n＞S_n+1，可得1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k＞1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k-（n+1）k，
解得k＞0；
当n为4的倍数加2时，S_n=1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k，
由S_n＞S_n+1，可得1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k＞1-$\frac{1}{2}$n（n+1）k-（n+1）k，
解得k＞0；
当n为4的倍数加3时，S_n=-$\frac{1}{2}$n（n+1）k，
由S_n＞S_n+1，可得-$\frac{1}{2}$n（n+1）k＞-$\frac{1}{2}$n（n+1）k-（n+1）k，
解得k＞0．
综上可得k的范围是k＞$\frac{1}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查数列的单调性的运用，考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．