Question

已知数列{a_n}（n∈N₊）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a_n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”，现有定义在（0，+∞）上的五个数列：
①f（x）=

1

x

；②f（x）=e^x；③f（x）=

x

；④y=kx（k＞0）；⑤y=ax²+b（a＞0且b＞0），
则为“保比差数列函数”的是

 

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：充分运用等比数列的定义，lnf（a_n）-lnf（a_n-1）=ln

f(an)

f(an-1)

=d．

f(an)

f(an-1)

=e^d=常数，
判断{

f(an)

f(an-1)

=e^d}为等比数列，
再分别运用代数运算论证判断，紧扣给定的定义．

解答： 解：设数列的公比q，若lnf（a_n）-lnf（a_n-1）=ln

f(an)

f(an-1)

=d.

f(an)

f(an-1)

=e^d=常数，
∴{

f(an)

f(an-1)

=e^d}为等比数列．

①若f（x）=

1

x

，则f（a_n）=

1

an

，所以.

f(an)

f(an-1)

=

an-1

an

=

1

q

，是等比数列，①为“保比差数列函数”；
②f（x）=e^x，.

f(an)

f(an-1)

=e an-an-1不是常数，②不为“保比差数列函数”；
③f（x）=

x

，.

f(an)

f(an-1)

=

(    )

(    )

an an-1

=

q

=常数，∴{

f(an)

f(an-1)

=e^d}为等比数列，③为“保比差数列函数”；
④y=kx（k＞0）；.

f(an)

f(an-1)

=

an

an-1

=q=常数，∴{

f(an)

f(an-1)

=e^d}为等比数列．，④为“保比差数列函数”；
⑤y=ax²+b（a＞0且b＞0），.

f(an)

f(an-1)

=

a(an)2+b

a(an-1)2+b

≠常数，∴{

f(an)

f(an-1)

=e^d}为等比数列，⑤不为“保比差数列函数”；
故答案为：①③④

点评：本题很新颖，融合了阅读分析能力，考查了对等比数列的定义，对数等知识的运用，综合性较强．