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11.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,…xn,总满足:$\frac{1}{n}$[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$),称函数f(x)为D上的凸函数.现已知f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

分析 根据f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数以及凸函数的定义可得$\frac{f(A)+f(B)+f(C)}{3}$≤f( $\frac{A+B+C}{3}$)=f( $\frac{π}{3}$),即sinA+sinB+sinC≤3sin $\frac{π}{3}$,由此求得sinA+sinB+sinC的最大值.

解答 解::∵f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,
且A、B、C∈(0,π),
∴$\frac{f(A)+f(B)+f(C)}{3}$≤f( $\frac{A+B+C}{3}$)=f( $\frac{π}{3}$),
即sinA+sinB+sinC≤3sin $\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
所以sinA+sinB+sinC的最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
故答案为:$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

点评 本题主要考查三角函数的最值问题.考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力,属于中档题.

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