Question

【题目】设不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若x∈M，|y|≤ ，|z|≤ ，求证：|x+2y﹣3z|≤ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据绝对值的意义，|x+1|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣1、1对应点的距离之和， 它的最小值为2，
故不等式|x+1|+|x﹣1|≤2的解集为M=[﹣1，1]．
（Ⅱ）∵x∈M，|y|≤ ，|z|≤ ，
∴|x+2y﹣3z|≤|x|+2|y|+3|z|≤1+2× +3× = ，
∴：|x+2y﹣3z|≤ 成立
【解析】（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得M．（Ⅱ）由条件利用绝对值不等式的性质可证得不等式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号，以及对二维形式的柯西不等式的理解，了解二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立．