Question

已知△ABC中，点A（3，0），B（0，3），C（rcosα，rsinα）（r＞0）．
（1）若r=1，且

AC

•

BC

=-1，求sin2a的值；
（2）若r=3，且∠ABC=60°，求AC的长度．

Answer 1

分析：（1）用向量的终点坐标减去始点坐标求出向量坐标，利用向量的数量积坐标公式求出数量积列出方程，求出sinα+cosα平方得到sin2a
（2）据点C的坐标得到A，B，C在同一个圆上，利用圆心角定理求出∠AOC，通过解三角形，求出AC长．

解答：解：（1）r=1时，

AC

=（cosα，sinα）-（3，0）=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα）-（0，3）=（cosα，sinα-3）．
所以

AC

•

BC

=（cosα-3）cosα+sin（sinα-3）=1-3（cosα+sinα）=-1．从而 sinα+cosα=2/3．
两边平方得到：cos²α+sin²α+2sinαcosα=4/9，
利用倍角公式即知：1+sin2α=4/9，所以 sin2α=-5/9．
（2）r=3时，C点坐标为C（3cosα，3sinα），
即C是半径为3，圆心为原点的圆上一点．
注意到此时A，B也都是此圆上的一点，由角ABC=60度 以及 圆心角定理可知：
∠AOC=2∠ABC=120°，其中O为坐标原点（亦为此圆圆心）．
所以在三角形AOC中，OA=OC=3，∠AOC=120°，
由此容易算出 AC=2×3sin60°=3

3

．

点评：本题考查向量坐标的求法；向量数量积公式，三角函数的二倍角公式，圆心角定理及解三角形．