Question

已知函数f(x)=cos2

x

2

-sin2

x

2

+sinx．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）当x0∈(0，

π

4

)且f(x0)=

4 2

5

时，求f(x0+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式化简cos2

x

2

-sin2

x

2

为cosx，再用两角和的正弦公式化函数cosx+sinx为

2

sin(x+

π

4

)．
就是函数f（x）为

2

sin(x+

π

4

)（I）直接求出函数的周期；
（II）由f(x0)=

4 2

5

求得x0∈(0，

π

4

)，求出cos(x0+

π

4

)利用

2

sin(x0+

π

4

+

π

6

)=

2

sin[(x0+

π

4

)+

π

6

]
然后求出f(x0+

π

6

)的值．

解答：解：由题设有f（x）=cosx+sinx=

2

sin(x+

π

4

)．
（I）函数f（x）的最小正周期是T=2π．
（II）由f(x0)=

4 2

5

得

2

sin(x0+

π

4

)=

4 2

5

，即sin(x0+

π

4

)=

4

5

，
因为x0∈(0，

π

4

)，所以x0+

π

4

∈(

π

4

，

π

2

).
从而cos(x0+

π

4

)=

1-sin2(x0+ π 4 )

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

.
于是f(x0+

π

6

)=

2

sin(x0+

π

4

+

π

6

)=

2

sin[(x0+

π

4

)+

π

6

]=

2

[sin(x0+

π

4

)cos

π

6

+cos(x0+

π

4

)sin

π

6

]=

2

(

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

)=

4 6 +3 2

10

.

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的余弦函数，考查学生分析问题解决问题的能力．是中档题．