Question

（本小题满分14分）如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为的正方形，平面ABED⊥底面ABC，且，若G、F分别是EC、BD的中点，

（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；

（Ⅱ）求证：平面EBC⊥平面ACD；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。

Answer 1

【解析】（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG//BC，HF//DE，……………………………2分

又∵ADEB为正方形    ∴DE//AB，从而HF//AB

∴HF//平面ABC，HG//平面ABC

∴平面HGF//平面ABC

∴GF//平面ABC……………………………………5分

证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图2）

∵G、F分别是EC和BD的中点

图1

∴…………………2分

又∵ADEB为正方形    ∴BE//AD，BE=AD

∴GM//NF且GM=NF

∴MNFG为平行四边形

∴GF//MN，又，

图2

∴GF//平面ABC……………………………………5分

（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB

又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC …………7分

∴BE⊥AC          又∵CA²+CB²=AB²

∴AC⊥BC        ∴AC⊥平面BCE

从而平面EBC⊥平面ACD……………………………………9分

（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，所以CN⊥AB，且

又平面ABED⊥平面ABC，

所以CN⊥平面ABED。  

∵C—ABED是四棱锥

∴V_C—ABED=……………………14分