【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=bsin(A+).
(1)求A;
(2)若b,a,c成等差数列,△ABC的面积为2,求a.
【答案】(1) ; (2).
【解析】
(1)由正弦定理化简已知可得sinA=sin(A+),结合范围A∈(0,π),即可计算求解A的值;
(2)利用等差数列的性质可得b+c=,利用三角形面积公式可求bc的值,进而根据余弦定理即可解得a的值.
(1)∵asinB=bsin(A+).
∴由正弦定理可得:sinAsinB=sinBsin(A+).
∵sinB≠0,
∴sinA=sin(A+).
∵A∈(0,π),可得:A+A+=π,
∴A=.
(2)∵b,a,c成等差数列,
∴b+c=,
∵△ABC的面积为2,可得:S△ABC=bcsinA=2,
∴=2,解得bc=8,
∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccos
=(b+c)2﹣3bc=(a)2﹣24,
∴解得:a=2.
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【题目】已知椭圆的右焦点为F.
(1)求点F的坐标和椭圆C的离心率;
(2)直线过点F,且与椭圆C交于P,Q两点,如果点P关于x轴的对称点为,判断直线是否经过x轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标;如果不经过,说明理由.
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【题目】下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76,乙代表队数据的平均数是75.
(1)求,的值;
(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率;
(3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定).
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【题目】如图,将斜边长为的等腰直角沿斜边上的高折成直二面角,为中点.
(1)求二面角的余弦值;
(2)为线段上一动点,当直线与平面所成的角最大时,求三棱锥外接球的体积.
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【题目】动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为4.
(1)若动圆圆心的轨迹为曲线,求曲线的方程;
(2)在曲线的对称轴上是否存在点,使过点的直线与曲线的交点满足为定值?若存在,求出点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知是自然对数的底数,函数与的定义域都是.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)判断函数零点个数;
(3)用表示的最小值,设,,若函数在上为增函数,求实数的取值范围.
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