Question

【题目】已知圆经过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，点为曲线上一点.

（1）求的值及曲线的方程；

（2）若为曲线上异于的两点，且.记点到直线的距离分别为，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；2.（2）是定值，定值为16.

【解析】

（1）根据已知条件，利用抛物线的定义得到曲线的轨迹，根据焦点和准线方程写出其标准方程；（2）设的斜率,利用点斜式写出直线的方程，与抛物线的方程联立，根据是一个交点，利用韦达定理求得的横坐标，进而得到,同理得到，计算可得是定值.

（1）由圆经过点且与直线相切，可知到(0,1)的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可得，点的轨迹为以(0,1)为焦点，以直线为准线的抛物线，所以其方程为，

将的坐标代入，得到；

（2）当的斜率为时（显然斜率存在且不为零），的斜率为 ，对应,即,与抛物线方程联立消去，整理得：

∵是直线与抛物线的一个交点，∴

同理

∴（定值）.