Question

已知：函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．
（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
（3）如果关于x的方程f（|2^x-1|）+t•（-3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），可知函数在区间[2，3]上是单调函数，故可建立方程组，从而可求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）利用分离参数法，求出函数的最值，即可得到结论；
（3）根据f（|2^x-1|）+t•（-3）=0，可得|2^x-1|++-3t-2=0，利用换元法u=|2^x-1|＞0，转化为u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，当0＜u₁＜1＜u₂时，原方程有三个相异实根，故可求实数t的取值范围．
解答：解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：
①得
②得（舍去）
∴a=1，b=0…（4分）
∴g（x）=x²-2x+1，…（5分）
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0，即k…（9分）
设，∴，∴k≤（t-1）²
∵（t-1）²_min=0，∴k≤0…（11分）
（3）f（|2^x-1|）+t•（-3）=0，即|2^x-1|++-3t-2=0．
令u=|2^x-1|＞0，则 u²-（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）
记方程①的根为u₁，u₂，当0＜u₁＜1＜u₂时，原方程有三个相异实根，
记φ（u）=u²-（3t+2）u+（4t+1），由题可知，
或．…（16分）
∴时满足题设．…（18分）
点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法求解恒成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题．