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【题目】已知椭圆的离心率为,圆经过椭圆的左,右焦点.

1)求椭圆的标准方程;

2)直线与椭圆交于点,线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点,是否存在实数,使得的面积与为原点)的面积相等?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.

【答案】1;(2)不存在,理由见解析.

【解析】

1)设,由题意得,从而可求出,即可得出结果;

2)先假设存在实数,使得的面积与的面积相等,易知,把代入整理,设,由根与系数关系,求得.,设点坐标为,根据题意,求得.

根据,列出方程,求得方程无解,即可得出结论.

1)设,由题意得

由圆经过椭圆的左,右焦点,得

所以

所以椭圆的标准方程为.

2)假设存在实数,使得的面积与的面积相等,易知

代入

整理得

,则

故点的横坐标为,点的给坐标为

.

点坐标为,因为

所以,解得,即.

,及的面积与面积相等,可得.

所以

整理得.因为此方程无解,

所以不存在实数,使得的面积与的面积相等.

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