Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在三角形ACB₁的外接圆上运动，则线段MN长度的最小值是（　　）

• A、

  3 -1

  2

• B、

  2 -1

  2

• C、

  3 - 2

  2

• D、

  3

  -

  2

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得结论．

解答：解：设与正方体的各棱都相切的球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB₁的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，
∵点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在三角形ACB₁的外接圆上运动，
∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1
∴线段MN长度的最小值是

3

2

-

2

2

．
故选：C．

点评：本题考查空间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径是关键．