Question

已知数列．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵．
即，，n≥3．
两式相减得，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…（3分）
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1（n≥3），即当n≥3时，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，2（a₁+a₂）=a₁-+2，得a₂=，∴b₂=4a₂=2，∴b₂-b₁=1，
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列…（5分）
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，∴…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以
所以…（5分）
①
②…（8分）
由①-②得…（10分）
=
∴…（12分）
分析：（Ⅰ）将已知关系式变形得出 （n≥2）由此当n≥3．时，两式相减并构造得出2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，再利用等差数列定义进行判断证明即可．（Ⅱ） 由（Ⅰ）得出，从而，利用错位相消法求和即可．
点评：本题考查等差数列的判定，通项公式求解，错位相消法求和，数列中Sn与a_n关系的应用．需具有转化、变形构造、论证、计算等能力．