Question

椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（  ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

试题分析：解：

①当点P与短轴的顶点重合时，△F₁F₂P构成以F₁F₂为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F₁F₂P；②当△F₁F₂P构成以F₁F₂为一腰的等腰三角形时，以F₂P作为等腰三角形的底边为例，∵F₁F₂=F₁P，∴点P在以F₁为圆心，半径为焦距2c的圆上，因此，当以F₁为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P，此时a-c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e＞当e=时，△F₁F₂P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F₁P为等腰三角形的底边时，在e＞ 且e≠ 时也存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P，这样，总共有6个不同的点P使得△F₁F₂P为等腰三角形，综上所述，离心率的取值范围是：e∈，故选D.
点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F₁F₂P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题