Question

设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若2f（x）+x?f′（x）＜0恒成立，下列说法正确的是（　　）

• A、函数x²f（x）有最小值0
• B、函数x²f（x）有最大值0
• C、函数x²f（x）在R上是增函数
• D、函数x²f（x）在R上是减函数

Answer 1

分析：由已知条件想到构造辅助函数F（x）=x²f（x），求导后分x＜0和x＞0两种情况讨论导函数的符号，并得到原函数的单调性，则答案可求．

解答：解：设F（x）=x²f（x），
∴F′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵2f（x）+x•f′（x）＜0，
∴当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
当x＜0，F′（x）＞0，F（x）在（-∞，0）上是增函数．
∴当x=0时，F（x）有最大值，最大值为0．
综上可知，选项B正确．
故选：B．

点评：本题考查了导数的运算，考查了函数的单调性与导数之间的关系，训练了函数构造法，是中档题．