Question

（2013•石家庄二模）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2），a∈R．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=-2时，由函数解析式可得|x+1|+|x-a|-2＞0．令g（x）=|x+1|+|x-a|-2=

-2x-3 ， x≤-2 1 ，-2＜x＜-1 2x+3 ，x≥-1

．由g（x）＞0，求得 x的范围，可得函数的定义域．
（Ⅱ）由题意可得，|x+1|+|x-a|＞2在R上恒成立，因为|x+1|+|x-a|≥|1+a|，可得|1+a|＞2，解得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=-2时，由函数f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2），可得|x+1|+|x-a|-2＞0．
令g（x）=|x+1|+|x-a|-2=

-2x-3 ， x≤-2 1 ，-2＜x＜-1 2x+3 ，x≥-1

．…（3分）
若g（x）＞0，则可得 x＜-

5

2

，或x＞-

1

2

．
所以，f（x）定义域为（-∞，-

5

2

）∪（-

1

2

，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由题意，|x+1|+|x-a|＞2在R上恒成立，因为|x+1|+|x-a|≥|1+a|，…（8分）
所以，|1+a|＞2，解得a＜-3，或a＞1，
故a的范围为（-∞，-3）∪（1，+∞）．…（10分）

点评：本题主要考查绝对值的意义即绝对对值不等式的解法，求函数的定义域，函数的恒成立问题，属于中档题．