Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC，且BC₁⊥A₁C．
（Ⅰ）求证：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）若D，E分别为A₁C₁和BB₁的中点，求证：DE∥平面ABC₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明平面ABC₁⊥平面A₁C，只需证明A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）取AA₁中点F，连EF，FD，证明平面EFD∥平面ABC₁，则有ED∥平面ABC₁．

解答： 证明：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AA₁⊥平面ABC．
∴AA₁⊥AC，又AA₁=AC，∴A₁C⊥AC₁．             …（2分）
又BC₁⊥A₁C，且AC₁∩BC₁=C₁，∴A₁C⊥平面ABC₁，
而A₁C?面A₁ACC₁，∴平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁…（6分）
（II）取A₁A中点F，连EF，FD，EF∥AB，DF∥AC₁…（9分）
即平面EFD∥平面ABC₁，则有ED∥平面ABC₁…（12分）

点评：本小题主要考查利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，考查线面平行的判定定理，并且考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．