Question

袋中装有大小相等的3个白球，2个红球和n个黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球0分，用ξ表示所得分数，已知得0分的概率为

1

6

．试求：
（1）袋中黑球的个数n；
（2）ξ的概率分布及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由题意知从袋中取球且取到两个黑球的概率是

1

6

，试验包含的所有事件是从n+5个球中任取2球，而满足条件的事件是取到两个黑球，根据所给的概率列出方程，解方程即可．
（2）用ξ表示所得分数，ξ可能的取值0，1，2，3，4．当变量是0时表示取到两个黑球，变量为1表示一黑一白，变量为2表示取到两个白球或是一红一黑，变量为3表示取到一白一红，变量为4表示取到两个红球，根据变量对应的事件做出概率，写出分布列和期望．

解答：解：（1）由题意知从袋中取球且取到两个黑球的概率是

1

6

，
从n+5个球中任取2球有C_n+5²种结果，
而取到两个黑球有C_n²种结果，
∴p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，
∴n²-3n-4=0，
解得n=-1（舍去）或n=4
即袋中有4个黑球．

（2）用ξ表示所得分数，ξ可能的取值0，1，2，3，4．
当变量是0时表示取到两个黑球，变量为1表示一黑一白，变量为2表示取到两个白球或是一红一黑，
变量为3表示取到一白一红，变量为4表示取到两个红球，
根据变量对应的事件做出概率，
∵p(ξ=0)=

1

6

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，P(ξ=2)=

C 2 3 + C 1 4 • C 1 2

C 2 9

=

11

36

，
P(ξ=3)=

C 1 3 ? C 1 2

C 2 9

=

1

6

，P(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

，
∴ξ的概率分布列为
∴Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．