Question

【题目】已知函数f（x）= sin2x+2cos2x+m（0≤x≤ ）．
（1）若函数f（x）的最大值为6，求常数m的值；
（2）若函数f（x）有两个零点x1和x2 ， 求m的取值范围，并求x1和x2的值；
（3）在（1）的条件下，若g（x）=（t﹣1）f（x）﹣ （t≥2），讨论函数g（x）的零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，

=

∵ ，∴ ，则 ，

∴ 时，f（x）最大=2×1+1+m=6，

解得m=3

（2）解：令 ，∵ ，∴ ，

函数f（x）在 上有两个零点x1，x2方程2sinz=﹣1﹣m在 上有两解．

即函数y=2sinz与y=﹣m﹣1在 上有两个交点，

由图象可知 ，解得﹣3＜m≤﹣2

由图象可知 ，∴ ，

解得

（3）解：在（1）的条件下， ，

且 ，则 ，

当t≥2时，（t﹣1）f（x）≥3（当t=2且 时取等号） ，

∵ ，∴ ，

（当 时取等号）

所以当t=2时，函数 有一个零点

当t＞2时，（t﹣1）f（x）＞3 恒成立，

函数 没有零点

【解析】（1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出 的范围，由正弦函数的最大值和条件列出方程，求出m的值；（2）由x的范围求出z= 的范围，将函数f（x）有两个零点转化为：方程2sinz=﹣1﹣m在 上有两解，再转化为两个函数图象有两个交点，由正弦函数的图象列出不等式，求出m的范围，由正弦函数的图象和对称性求出x1与x2的和；（3）由（1）求出f（x）的最小值，求出当t≥2时（t﹣1）f（x）的范围，利用商的关系、两角差的正切公式化简 ，由x的范围、正切函数的性质求出 范围，即可判断出函数g（x）的零点个数．