Question

13．设$\left\{\begin{array}{l}{x=f′（t）}\\{y=tf′（t）-f（t）}\end{array}\right.$，f（t）三阶可导，且f″（t）≠0．求$\frac{{d}^{3}y}{d{x}^{3}}$．

Answer 1

分析 根据公式①$\frac{dy}{dx}$=$\frac{dy/dt}{dx/dt}$；②$\frac{d^2y}{dx^2}$=$\frac{d（\frac{dy}{dt}）/dt}{dx/dt}$；③$\frac{d^3y}{dx^3}$=$\frac{d（\frac{d^2y}{dt}）/dt}{dx/dt}$运算．

解答 解：根据题意，x=f'（t），y=tf'（t）-f（t），所以，
$\frac{dx}{dt}$=f''（t），$\frac{dy}{dt}$=f'（t）+tf''（t）-f'（t）=tf''（t），
所以，$\frac{dy}{dx}$=$\frac{dy/dt}{dx/dt}$=t，
因此，$\frac{d^2y}{dx^2}$=$\frac{d（\frac{dy}{dt}）/dt}{dx/dt}$=$\frac{1}{f''（t）}$，
所以，$\frac{d^3y}{dx^3}$=$\frac{d（\frac{d^2y}{dt}）/dt}{dx/dt}$=$\frac{-\frac{f'''（t）}{[f''（t）]^2}}{f''（t）}$=-$\frac{f'''（t）}{[f''（t）]^3}$．

点评 本题主要考查了微分的运算，应用了导数的乘法与除法运算法则，属于中档题．