Question

如图，已知直角三角形PAB的直角顶点为B，点P的坐标为（3，0），点B在y轴上，点A在x轴的负半轴上，在BA的延长线上取一点C，使

BC

=3

BA

．
（1）当B在y轴上移动时，求动点C的轨迹方程；
（2）若直线l：y=k（x-1）与点C的轨迹交于M、N两点，设D（-1，0），当∠MDN为锐角时，求的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设C（x，y），A（a，0），B（0，b），其中a＜0，b≠0．利用

BC

=3

BA

，可得（x，y-b）=3（a，-b），即x=3a，y=-2b．由于∠PBA=90°?

BP

•

BA

=0，可得b²=-3a．联立

x=3a，y=-2b b2=-3a

，消去a，b即可．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．联立

y2=-4x y=k(x-1)

可得k²≠0，△＞0，解得k的取值范围．可得根与系数的关系．由于∠MDN为锐角，可得

DM

•

DN

＞0，代入即可．

解答：解：（1）设C（x，y），A（a，0），B（0，b），其中a＜0，b≠0．
∵

BC

=3

BA

，∴（x，y-b）=3（a，-b），∴x=3a，y=-2b．
∵∠PBA=90°，∴

BP

•

BA

=0，∴（3，-b）•（a，-b）=0，得b²=-3a．
联立

x=3a，y=-2b b2=-3a

，消去a，b得到y²=-4x（x＜0）．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．联立

y2=-4x y=k(x-1)

化为k²x²-（2k²-4）x+k²=0，
∵k²≠0，△＞0，解得0＜k²＜1．
∴x1+x2=

2k2-4

k2

，x₁x₂=1．
∵∠MDN为锐角，∴

DM

•

DN

＞0，∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）＞0，化为x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂＞0，
即x1x2+x1+x2+k2(x1-1)(x2-1)＞0，整理为(1-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+k²＞0，
代入解得k2＞

1

2

，又0＜k²＜1．
联立得

1

2

＜k2＜1，解得k的取值范围是(-1，-

2

2

)∪(

2

2

，1)．

点评：熟练掌握抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、向量夹角与数量积的关系等是解题的关键．