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(2012•福建模拟)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2
2
,∠ABC=90°,如图1.把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD,如图2.
(Ⅰ)求证:CD⊥AB;
(Ⅱ)若点M为线段BC中点,求点M到平面ACD的距离;
(Ⅲ)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°?若存在,求出
BN
BC
的值;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)先证明CD⊥BD,利用平面ABD⊥平面BCD,可得CD⊥平面ABD,利用线面垂直的性质可得CD⊥AB;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面ACD的一个法向量为
n
=(1,0,-1)
,进而可求点M到平面ACD的距离;
(Ⅲ)假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°,设
BN
BC
, 0<λ<1
,可得
AN
=(1-2λ,2λ,-1)
,利用向量的夹角公式,建立方程,即可求得结论.
解答:(Ⅰ)证明:由已知条件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.…(2分)
∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD.
∴CD⊥平面ABD.…(3分)
又∵AB?平面ABD,∴CD⊥AB.…(4分)
(Ⅱ)解:以点D为原点,BD所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0).
CD
=(0,-2,0),
AD
=(-1,0,-1)
.…(6分)
设平面ACD的法向量为
n
=(x,y,z)
,则
CD
n
AD
n
,∴
y=0
x+z=0

令x=1,得平面ACD的一个法向量为
n
=(1,0,-1)

∴点M到平面ACD的距离d=
|
n
MC
|
|
MC
|
=
2
2
.…(8分)
(Ⅲ)解:假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°.…(9分)
BN
BC
, 0<λ<1
,则N(2-2λ,2λ,0),
AN
=(1-2λ,2λ,-1)

又∵平面ACD的法向量
n
=(1,0,-1)
且直线AN与平面ACD所成角为60°,
sin60°=
|
AN
n
|
|
AN
|•|
n
|
=
3
2
,…(11分)
可得8λ2+2λ-1=0,
λ=
1
4
或λ=-
1
2
(舍去).
综上,在线段BC上存在点N,使AN与平面ACD所成角为60°,此时
BN
BC
=
1
4
.…(13分)
点评:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想.
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