【题目】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若函数, 是函数的两个零点, 是函数的导函数,证明: .
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,根据导函数是否变号进行讨论,当时, , 递增,当时,导函数有一零点,导函数先正后负,故得增区间为,减区间为;(2)利用分析法先等价转化所证不等式:要证明,只需证明 ,即证明,即证明,再令,构造函数,利用导数研究函数单调性,确定其最值: 在上递增,所以,即可证得结论.
试题解析:(1) 的定义域为,
当时, , 递增
当时,
递增;
综上:∴当时, 的单调增区间为,单调减区间为
当时, 的单调增区间为
(2)由是函数的两个零点有
,相减得
又∵
∴
所以要证明,只需证明
即证明,即证明
令,则
则,
∴在上递减, ,∴在上递增,
所以成立,即
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【题目】【河南省2017届高中毕业年级考前预测数学(理)】已知圆与直线相切,设点为圆上一动点, 轴于,且动点满足,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)直线与直线垂直且与曲线交于两点,求面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=cos2ωx﹣sin2ωx+2 cosωxsinωx,其中ω>0,若f(x)相邻两条对称轴间的距离不小于
(1)求ω的取值范围及函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a= ,b+c=3,当ω最大时,f(A)=1,求sinBsinC的值.
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【题目】某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴,每户贷款额为万元,贷款期限有个月、个月、个月、个月、个月五种,这五种贷款期限政府分别需要补助元、元、元、元、元,从年享受此项政策的困难户中抽取了户进行了调查统计,选取贷款期限的频数如下表:
贷款期限 | 个月 | 个月 | 个月 | 个月 | 个月 |
频数 |
以商标各种贷款期限的频率作为年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.
(1)某小区年共有户准备享受此项政策,计算其中恰有两户选择贷款期限为个月的概率;
(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为元,写出的分布列,若预计年全市有万户享受此项政策,估计年该市共要补贴多少万元.
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【题目】已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an﹣1(n≥2,n∈N+).
(1)设bn=an+1+an(n∈N+),求证{bn}是等比数列;
(2)(i)求数列{an}的通项公式;
(ii)求证:对于任意n∈N+都有 + +…+ + < 成立.
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【题目】潮州统计局就某地居民的月收入调查了人,并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在)。
(1)求居民月收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这人中分层抽样方法抽出人作进一步分析,则月收入在的这段应抽多少人?
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【题目】已知点,动点P 满足:|PA|=2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线,求此曲线的方程;
(2)若点Q在直线l1: x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线只有一个公共点M,求|QM|的最小值.
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