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【题目】(本小题满分12分)

如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PAPD=,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2OAD中点.

(Ⅰ)求证:PO平面ABCD

(Ⅱ)求异面直线PBCD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

【答案】(1)同解析(2)异面直线PBCD所成的角的余弦值为.3)点A到平面PCD的距离d

【解析】解法一:

)证明:在PAD卡中PAPDOAD中点,所以POAD.

又侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCDADPO平面PAD

所以PO平面ABCD.

)连结BO,在直角梯形ABCD中,BCAD,AD=2AB=2BC

ODBCODBC,所以四边形OBCD是平行四边形,

所以OBDC.

由()知POOBPBO为锐角,

所以PBO是异面直线PBCD所成的角.

因为AD2AB2BC2,在Rt△AOB中,AB1AO1,所以OB

Rt△POA中,因为APAO1,所以OP1

Rt△PBO中,PB,

cos∠PBO=,

所以异面直线PBCD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)

由()得CDOB

Rt△POC中,PC

所以PCCDDPSPCD=·2=.

S△=

设点A到平面PCD的距离h

VP-ACD=VA-PCD

SACD·OPSPCD·h

×1×1××h

解得h.

解法二:

)同解法一,

)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.

A0-10),B1-10),C100),

D010),P001.

所以=(-110),=(t-1-1),

=

所以异面直线PBCD所成的角的余弦值为

)设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,x0),

由()知=-101),=(-110),

n·0,所以 -x0+ x0=0,

n·0-x0+ y0=0 

x0=y0=x0, 

x0=1,得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d

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