【题目】(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
【答案】(1)同解析(2)异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(3)点A到平面PCD的距离d=
【解析】解法一:
(Ⅰ)证明:在△PAD卡中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,
所以OB∥DC.
由(Ⅰ)知PO⊥OB,∠PBO为锐角,
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以OB=,
在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1,
在Rt△PBO中,PB=,
cos∠PBO=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)
由(Ⅱ)得CD=OB=,
在Rt△POC中,PC=,
所以PC=CD=DP,S△PCD=·2=.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h,
由VP-ACD=VA-PCD,
得S△ACD·OP=S△PCD·h,
即×1×1=××h,
解得h=.
解法二:
(Ⅰ)同解法一,
(Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),
D(0,1,0),P(0,0,1).
所以=(-1,1,0),=(t,-1,-1),
∞〈、〉=,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为,
(Ⅲ)设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,x0),
由(Ⅱ)知=(-1,0,1),=(-1,1,0),
则n·=0,所以 -x0+ x0=0,
n·=0, -x0+ y0=0,
即x0=y0=x0,
取x0=1,得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d=
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(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测在2016年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下,车速达到110时,可能发生的交通事故次数.
(附:,,其中为样本平均值)
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