Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N^*），其中x₁＞0，则x_n+1与x_n的关系正确的是（　　）

• A．xn+1=

  xn

  2

  +

  2

  xn

• B．xn=

  xn+1

  2

  +

  2

  xn+1

• C．xn+1=xn+

  2

  xn

• D．xn=xn+1+

  2

  xn+1

Answer 1

分析：先利用导数求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据切线与x轴的交点为（x_n+1，0），可得x_n+1与x_n的关系．

解答：解：由题可得f′（x）=2x．
所以曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是：y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n）．
即y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n）．
即x_n²+4=2x_nx_n+1．
显然x_n≠0，
∴xn+1=

xn

2

+

2

xn

．
故选A．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于基础题．