Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有S_n=

2

3

a_n-

1

3

，且1＜S_k＜9（k∈N^*），则a₁=

 

，k=

 

．

Answer 1

分析：根据S_n=

2

3

a_n-

1

3

，令n=1，即可解得a₁的值，由a_n=S_n-S_n-1求出{a_n}的通项公式，然后求出a₁=-1，a₂=2，a₃=-4，a₄=8，a₅=-16，据此判断k的值．

解答：解：当n=1时，a₁=

2

3

a₁-

1

3

，可知a₁=-l，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2

3

a_n-

1

3

-

2

3

an-1+

1

3

，可知

an

an-1

=-2，即{a_n}是等比数列，得
a_n=-1（-2）^n-1，得a₁=-1，a₂=2，a₃=-4，a₄=8，a₅=-16，因为S₃＜0，S₄=5，S₅=-8，S₆=20，
故知k=4，
故答案为-1、4．

点评：本题主要考查数列求和和数列函数特性的知识点，解答本题的关键是求出{a_n}的通项公式，本题难度一般．