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某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点AB,及CD的中点P处,已知km, ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且AB与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AOBOOP,设排污管道的总长为ykm。
(I)按下列要求写出函数关系式:
①设,将表示成的函数关系式;
②设,将表示成的函数关系式。
(Ⅱ)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。
(I)①

(Ⅱ)选择函数模型①,P位于线段AB的中垂线上且距离AB处。
本小题考查函数最值的应用。
(I)①由条件可知PQ垂直平分AB,则
,又,所以

,则,所以
所以所求的函数关系式为
(Ⅱ)选择函数模型①。

,又,所以
时,的减函数;时,的增函数。
所以当。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB处。
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