Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1则下列结论正确的是（　　）

A．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁＜a₂

B．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁＞a₂

C．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁≤a₂

D．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁≥a₂

Answer 1

分析：根据等式，构造函数，求导函数，可知函数是单调递增的，再利用函数的单调性即等差数列的求和公式，即可得到结论．

解答：解：根据（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1，
构造函数f（x）=x³+x，由于函数f（x）=x³+x是奇函数，由条件有f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1．
求导函数可得：f′（x）=3x²+1＞0，所以函数f（x）=x³+x是单调递增的，而f（1）=2＞1=f（a₂-1），即a₂-1＜1，解得a₂＜2．
∵f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1，∴a₂-1＞a₂₀₁₁-1，a₂-1=-（a₂₀₁₁-1），∴a₂＞0＞a₂₀₁₁，a₂+a₂₀₁₁=2，
∴S₂₀₁₂=

a1+ a2012

2

×2012=2012．
又S₂₀₁₁=S₂₀₁₂-a₂₀₁₂=2012-（2-a₂+d）=2010+a₁＞a₁+a₂=S₂ ．
综上知，S₂₀₁₂=2012，且a₂₀₁₁＜a₂ ，
故选A．

点评：本题考查函数与方程的思想，综合考查函数的奇偶性、单调性、等差数列的通项公式、等差数列性质、等差数列求和公式以及函数与方程的思想，转化与化归思想，属于基础题．