Question

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q；
（1）点B，D，F，E是否共面？并说明理由；
（2）若直线A₁C与平面BDEF的交点为R证明：点P，Q，R共线．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）点B，D，F，E是否共面？并说明理由；
（2）若直线A₁C与平面BDEF的交点为R证明：点P，Q，R共线．

解答： 解：（1）点B，D，F，E共面．
证明：由于CC₁和BF在同一平面内，且不平行，故必相交，
设交点为O，则OC₁=CC₁，
同理，直线DE与CC₁与相交，设交点为O₁，则O₁C₁=CC₁，
故O与O₁重合，得DE与BF交于O，故B，D，F，E是否共面．
（2）在正方体AC₁中，连接PQ，
∵Q∈A₁C₁，
∴Q∈平面A₁C₁CA，又Q∈EF，
∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A₁C₁CA与平面BDEF的公共点，
同理P是平面A₁C₁CA与平面BDEF的公共点，
∴平面A₁C₁CA∩平面BDEF=PQ，
∵CA∩平面BDEF=R，
∴R∈CA，R∈平面A₁C₁CA，R∈平面BDEF，
故点P，Q，R共线．

点评：本题主要考查平面的基本性质的应用，考查学生的推理能力．