Question

已知椭圆x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）若椭圆的离心率e=

3

2

，求⊙P的方程；
（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率和长半轴求得半焦距c，进而求得b，进而可求得B，F，C的坐标，设出圆P的方程，把三点坐标代入后联立求得m，n和r，则所求圆的方程可得．
（2））根据⊙P过点F，B，C三点，可推断出圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，进而根据题意表示出FC和BC的垂直平分线方程联立后求得交点即圆心的坐标表达式，代入直线方程x+y=0求得b，则椭圆的方程可得．

解答：解：（1）当e=

3

2

时，∵a=1，∴c=

3

2

，
∴b2=a2-c2=1-

3

4

=

1

4

，b=

1

2

，
点B(0，

1

2

)，F(-

3

2

，0)，C（1，0）
设⊙P的方程为（x-m）²+（y-n）²=r²，
由⊙P过点F，B，C得
∴m2+(

1

2

-n)2=r2①(m+

3

2

)2+n2=r2②（1-m）²+n²=r²③
由①②③联立解得：m=

2- 3

4

，n=

1-2 3

4

，r2=

5

4

-
∴所求的⊙P的方程为(x-

2- 3

4

)2+(y-

1-2 3

4

)2=

5

4

（2）∵⊙P过点F，B，C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，
也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为x=

1-c

2

④
∵BC的中点为(

1

2

，

b

2

)，k_BC=-b
∴BC的垂直平分线方程为y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)⑤
由④⑤得x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

，即m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

（
∵P（m，n）在直线x+y=0上，∴

1-c

2

+

b2-c

2b

=0?（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0∴b=c，由b²=1-c²得b2=

1

2

∴椭圆的方程为x²+2y²=1

点评：本题主要考查了椭圆的基本性质，椭圆与圆和直线的位置关系．考查了学生综合运用基础知识的能力和分析推理的能力．属中档题．