[题目]定义:曲线称为椭圆的“倒椭圆．已知椭圆.它的“倒椭圆．(1)写出“倒椭圆的一条对称轴.一个对称中心,并写出其上动点横坐标x的取值范围．(2)过“倒椭圆上的点P.作直线PA垂直于x轴且垂足为点A.作直线PB垂直于y轴且垂足为点B.求证:直线AB与椭圆只有一个公共点．(3)是否存在直线l与椭圆无公共点.且与“倒椭圆无公共点?若存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．

（1）写出“倒椭圆”的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．

（2）过“倒椭圆”上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆只有一个公共点．

（3）是否存在直线l与椭圆无公共点，且与“倒椭圆”无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）对称轴为a轴（或y轴），对称中心为；；

（2）证明见解析；

（3）不存在；理由见解析；

【解析】

（1）根据题干中的新定义“倒椭圆”即可求解。

（2）根据新定义得，，求出；再与联立，通过判别式即可证明。

（3）设l上任意一点，Q不是l与椭圆的公共点，则；Q不是l与倒椭圆的公共点，；从而Q不是l与、的公共点，则必有，与或，即不存在。

（1）对称轴为a轴（或y轴），对称中心为；

∵，∴．

（2）设，其中，且，则，，

于是，代入，得，

，

由可得，从而，∴直线AB与椭圆只有一个公共点．

（3）设l上任意一点，

若Q是l与椭圆的公共点，则，

也即Q不是l与椭圆的公共点，则必有；

同理，若Q是l与倒椭圆的公共点，则，

也即Q不是l与倒椭圆的公共点，则必有；

从而Q不是l与、的公共点，则必有，

对于l上任意一点，或，∴不存在符合题意的直线l．

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