Question

17．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，交△ABC的外接圆于E，延长AC到F，使得AC•AF=AD•AE，连按EF．
（1）求证：C、D、E、F四点共圆；
（2）求证：AC•DE=EF•CD．

Answer 1

分析 （1）利用三角形相似，证明∠ACD=∠AEF，即可证明C、D、E、F四点共圆；
（2）证明△AEB≌△AEF，EB=EF，利用△ACD∽△BED，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵AC•AF=AD•AE，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AF}$，
∵∠CAD=∠EAF，
∴△CAD∽△EAF，
∴∠ACD=∠AEF，
∴C、D、E、F四点共圆；
（2）由（1）可得∠ACD=∠AEF，
∵∠ACD=∠BED，
∴∠AEF=∠BED，
∴∠AEF=∠AEB，
∵AE=AE，∠BAE=∠FAE，
∴△AEB≌△AEF，
∴EB=EF，
∵△ACD∽△BED，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$，
∴AC•DE=BE•CD
∴AC•DE=EF•CD．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确证明三角形相似是关键．